纳什均衡与博弈论-第35章
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想要计算纳什均衡，你必须找到一种对每个玩家来说，当其他人也选择最佳混合策略时，他的期望收益最高的混合策略。在这个例子中，爱丽丝选择巴士的概率是p，步行的概率为1－p（因为概率加起来必须等于1）。鲍勃选择巴士的概率为q，而步行的概率为1－q。
爱丽丝可以计算她选择巴士或步行的“期望收益”，方法如下。她选择巴士的期望收益是以下的总和：
当鲍勃选择巴士时她选择巴士的收益，乘以鲍勃会选择巴士的概率，或表示为3×q
加上
当鲍勃选择步行时她选择巴士的收益，乘以鲍勃选择步行的概率，或表示为6×（1－q）
她选择步行的期望收益是以下的总和：
当鲍勃选择巴士时她选择步行的收益，乘以鲍勃会选择巴士的概率，或表示为5×q
加上
当鲍勃选择步行时她选择步行的收益，乘以鲍勃选择步行的概率，或表示为4×（1－q）
加起来，
爱丽丝选择巴士的期望收益＝3q＋6（1－q）
爱丽丝选择步行的期望收益＝5q＋4（1－q）
用相似的推理来计算鲍勃的期望收益可以得到：
鲍勃选择巴士的期望收益＝…3p＋［…5（1－p）］
鲍勃选择步行的期望收益＝…6p＋［…4（1－p）］
现在，爱丽丝在这个游戏中的总期望收益是她选择巴士的概率乘以她选择巴士的期望收益，加上她选择步行的概率乘以她选择步行的期望收益。对鲍勃来说也是相似的。要达到纳什均衡，他们做两种选择的概率必须使得对这两个概率的任何改变都无法带来更多收益。换句话说，对每种选择的期望收益（巴士或步行）必须是相等的（如果对一种选择的期望收益比另一种大，那么多做这种选择就会更好一些，那样，就增加了做这种选择的概率）。
对鲍勃来说，他不该改变策略如果
…3p＋［…5（1－p）］＝…6p＋［…4（1－p）］
运用一些基础的代数运算，方程可以被表示为：
…3p－5＋5p＝…6p－4＋4p
或者
2p＝1－2p
所以
4p＝1
p的解，表示爱丽丝选择巴士的最优概率是
p＝1/4
因此爱丽丝应该在1/4的情况中选择巴士，3/4选择步行。
现在，爱丽丝不会想要改变策略，当
3q＋6（1－q）＝5q＋4（1－q）
解出q，得到鲍勃选择巴士的最优概率：
因此鲍勃应该在一半的时间里选择巴士，一半选择步行。
现在让我们假定爱丽丝和鲍勃决定玩鹰鸽游戏，收益结构会变得更复杂一些，因为一个人赢得的并不一定等于另一人失去的。在这个博弈矩阵中，方格里的第一个数字给出爱丽丝的收益，第二个数字给出鲍勃的收益。
爱丽丝玩鹰的概率是p，玩鸽的概率为1－p；鲍勃玩鹰的概率是q，而玩鸽的概率是1－q。爱丽丝玩鹰的期待收益是…2q＋2（1－q）；她玩鸽的期待收益是0q＋1（1－q）。鲍勃玩鹰的期待收益是…2p＋2（1－p）；他玩鸽的期待收益是0p＋1（1－p）。
鲍勃不会想要改变策略，当
因此，爱丽丝玩鹰的概率p，是1/3。
爱丽丝不会想要改变策略如果
因此鲍勃玩鹰的概率q，也是1/3。因此在这种收益结构下的纳什均衡是在1/3的情况下玩鹰，2/3的情况下玩鸽。
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