纳什均衡与博弈论-第24章
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但是一篇发表在英国期刊《自然》上的论文开始改变了这种情况。回顾一下，网络的狂热可以追溯到1998年6月4日，邓肯·瓦茨和史蒂夫·斯托加茨发表了一篇名为《“小世界”网络的集体动力学》的简短文章（在《自然》期刊上仅仅占了两页半）。
第三节 网络狂热
几年之后，当我在一次计算复杂性会议上遇到斯托加茨时，我问他为什么网络成为了20世纪90年代后期最热门的数学话题。“我想最早是因为我们的论文，”他说，“如果你问我这到底是什么时候开始的，我想是从1998年我们那篇研究小世界网络问题的论文出现在《自然》期刊上时开始的。”
我又试探着问了斯托加茨那篇论文的由来。那其实是一个厚积薄发推动科学进步的实例。
“瓦茨和我大约在1995年开始了我们的研究，那时我们很关注凯文·培根的事情，我们也听说过六度分离，那部电影正是出自那剧本。”斯托加茨说，“当时那个正流行。”
当然，凯文·培根并不是完全靠他自己使科学发生了变革。由于万维网的出现，公众知道了因特网，培根的游戏正是这时变得出名。
“我认为是万维网让我们去思考网络。”斯托加茨说。万维网不仅是一种巨型而精细的网络的典型代表，它也使得很多其他的网络变得可以被研究。网络爬虫程序和搜索引擎使得测定万维网自身的各种联系成为可能，当然万维网也使得为其他大型网络编制目录并存储以方便访问成为可能（电影演员的数据库是一个最好的例子）。相似地，线虫体内代谢反应和果蝇基因交互作用的数据也可以被收集和传送。
“大型数据库出现之后，研究者们就开始利用它们，”斯托加茨评论道，“人们开始把事物当作网络来考虑。”他说在那之前甚至很多真实的网络都不被当成网络来看待——电力网络被认为是电路栅格，你也可能听过电话“系统”这种说法用来指电话网络。“我们觉得它们不那么像网络，”斯托加茨说，“我不认为在一个个连接间移动会让我们产生身处于网络的感觉。”
有了万维网情况就不一样了。你几乎不可能把万维网当作一个整体来考虑。你得一个一个链接去浏览。万维网涉及了科学的所有领域，将有各种网络观念的专家联系在一起。“在很多不同的学科中，”斯托加茨评论道，“我们称之为网络思维的那种思维开始生根。”
尽管如此，网络数学的革命直到1998年瓦茨和斯托加茨的论文出现之后才开始。他们说明了如何建立一种“小世界”网络的模型，在那种模型里平均只需很少几步就可以从网络中的一个节点到另外任何一个节点。他们的模型引起了人们的惊奇并引发了媒体铺天盖地的报道和之后的网络狂热。但斯托加茨认为某些惊奇是源于将他们的模型误读为网络数学的振兴。例如有些专家会说瓦茨和斯托加茨论文的主要影响是在于识别出了某些特殊真实世界网络所具有的小世界性质。其他人提出连接的“聚合”（少数节点组具有比随机数量更多的连接数）是他们的主要发现。“对我来说这是一种对我们论文重要性的误读，”斯托加茨说，“我认为它流行起来的原因是我们首次比较了不同领域的网络而且发现存在着跨领域的相似属性。”
换句话说，虽然网络种类多样，但它们的很多共同特征可以用一种精确的数学方法来描述。这些共同的特征使得人们希望网络数学不只是对一种又一种网络进行冗繁的连接整理工作。相反的，它使人们看到网络存在着一般规律，可以帮助人们精确预测不同种类网络如何发展、进化和运转——例如细胞中蛋白质组成的化学网络，例如大脑中神经元构成的神经网络，或者例如电影中的演员和经济学中股票交易商形成的社会网络。
第四节 小世界
不同网络的一种基本共同特征是它们中的很多都呈现出了小世界性质。例如当一个网络的节点是人时，小世界就是这种网络的规则。因此找到主宰小世界网络的规则可能是预测社会未来的关键。
瓦茨和斯托加茨通过集中研究介于完全规则网络和完全随机网络之间的中间型网络揭示了某些网络的小世界性质。在规则网络（通常叫做规则点阵）中，节点仅仅和它们直接相邻的节点连接。举个最简单的例子，考虑排成圆周的一系列节点。这些圆点所代表的节点通过代表圆周的线和它们两侧紧挨的节点联系在一起。
规则网络
对一个更精细（但依然规则）的网络，你可以把相隔一个节点的两个节点也连接起来。每个节点就和4个其他节点相连了——两侧各两个邻近节点。
在随机网络中，则是另一种情况，有些节点可能和其他很多节点连接，有些节点则可能只和一个点连接。有些节点可能只和邻近的节点相连；有些可能和圆周另一侧的节点相连；有些可能既和邻近节点又和远处节点相连。这种网络可能看起来很混乱。这就是随机的意思。
在随机网络中，由于随机的长距离连接形成了横跨圆周的连接，通常很容易就可以找到从一个节点到任一个节点相对较短的路径。可是在规则网络中通行就没那么容易。要从圆周的一侧到另外一侧，必须通过邻近的点环绕很长的路径。
随机网络
但是瓦茨和斯托加茨设想，在“中间”网络——既不是完全规则也不是完全随机的网络中会发生什么情况呢？换句话说，假设你在规则网络上随机添加几条连线。事实证明即使只是增加很少比例的连接也会带来和远处节点之间的捷径，这种新的中间网络就形成了小世界（就是说，你可以在很少几步之内到达网络的任一点）。但是这种中间网络保持了规则网络的一个重要特征——它的邻近节点仍然有着比平均数更多的连接（就是说，它们存在着“聚合”），而不是像随机网络，其中几乎不会出现聚合现象。
在数学上能描绘出兼具随机和规则网络性质的图是件不错的事，即便它并不显得那么重要。但是你只需很少捷径就可以使网络成为小世界的事实说明小世界网络可能是自然界的共性。瓦茨和斯托加茨在3个真实的事例中测试了这种可能性：和凯文·培根共戏的电影演员网络、美国西部的电网和微小的线虫的神经细胞网络。在所有这3个例子中，正如假想的介于规则网络和随机网络中间的网络模型一样，这些网络都呈现出了小世界性质。
因此，瓦茨和斯托加茨推断，“小世界现象不只是社会网络的特例或是人造的理想模型——它可能普遍存在于自然界中的各种大型、稀疏网络中。”
中间（小世界）网络
如果是这样的话（事实也的确如此），瓦茨和斯托加茨开辟了一处新领域供数学家和物理学家来探索，在那里所有的重要网络都可以用一套共通的工具来分析。和统计物理学家分析无序气体分子复杂性的方法一样，数学家可以用类似的数学来计算一个网络的定义特征。和所有的气体一样，无论它们包括何种分子，都遵守同样的气体定律，很多网络也遵守类似的数学规律。“每个人都会问，这些完全不同的网络却拥有共同的性质，这是多么不寻常的事情——你是怎么想到的呢？”斯托加茨说。
某几个网络特征可以用类似气体的温度和压强那样的参数来量化，科学家称其为描述性系统变量。任意两个节点之间的平均步数——路径长度——就是这样一个参数。另一个是“聚合系数”——指的是如果两个点都和第三个相连接时，这两点直接相连接的可能性。相对较高的聚合比例是小世界网络违反直觉的特征之一。小世界网络的短路径长度和随机网络比较相似。另一方面，小世界网络的高聚合系数则和随机网络完全不同，反而更接近规则网络。
这种聚合性质（你可以称其为“小集团”的尺寸）在社会网络中尤其值得关注。例如我的妹妹有两个朋友分别叫做黛碧和珍妮特，那么黛碧和珍妮特相互认识的可能会比平均水平更高（她们的确认识）。“存在着一种构成三角形的趋势，这是你在随机网络中看不到的。”斯托加茨指出。
除了聚合系数和路径长度之外，另一个关键的数字是将一个节点和其他节点连接起来的平均连线数量，称为级度系数（节点的“级度”是该节点连接的其他节点数量）。作为演员网络中的一个节点，凯文·培根和很多其他节点连接在一起，他的级度排得很高。毕竟，和其他节点的充分连接是使得培根和其他演员间平均路径长度如此短的原因。但是一个令人震惊的研究结果表明培根远不是连接最多的演员。以连接其他演员的平均步数作为标准的话，他甚至没有排进前1000！
事实证明，培根对网络的真正重要性并非源于他的特殊性，而是他的典型性。很多像培根一样的演员，作为“枢纽”将很多其他演员联系在一起。这些枢纽的存在被证明是很多现实世界网络的一个重要的共同特征。
第五节 无标度的幂
到2004年中期为止，在“连接最多”的排名表（根据和其他所有演员连接起来用的平均步数）上居首的演员是罗德·斯泰格尔，2。679步。培根以2。95步排在第1049位（但是，培根仍然比99％的演员都有更多的连接，能担任起一个重要的枢纽）。第二位是克里斯托弗·李（2。684步），丹尼斯·霍珀紧随其后（2。698步）。唐纳德·萨瑟兰排在第四。在女性中连接最多的是卡伦·布莱克，排在第21位。
正是这些高度连接的演员，或者说枢纽，使得只需几步就能从一个演员到其他任何演员变得容易。随机选取两个演员，你可能可以在三步之内把他们连接起来。需要超过四步的情况会很少见。如果你不断搜索，会找到一些需要更多步数的人，但那可能只是你故意选择很难连接的演员，就像某些只演过一部电影的人（并且记住，我说过你要随机选取两个演员）。
举个例子，我随便想两个人，巴兹尔·拉思伯恩（因为我昨晚看了一部歇洛克·福尔摩斯的电影）和林赛·罗韩（没有原因——我不打算说我看过《金龟车贺比》）。这两个演员来自完全不同的时代，罗韩才出道，出演过相对较少的电影。但你只用三步就能把他们连起来。老迈的拉思伯恩和前逍遥骑士丹尼斯·霍珀共同出演过《吸血女皇》（1966）。霍珀和布鲁斯·麦克菲演过《黑帮二代》，后者和罗韩演过《青春舞会皇后》（2004）。拉思伯恩和罗韩之间的捷径是通过霍珀提供的枢纽促成的，事实上霍珀比培根连接的演员要多很多。（霍珀直接和其他3503个演员相连，比培根多大约1500个。）
像霍珀这样的枢纽使得演员网络成为了小世界。他们使得从一个节点到另一个节点变得容易，就像芝加哥奥黑尔机场或者达拉斯…沃斯堡机场这种将航空网络中更小的机场联系起来的重要航空枢纽那样，让你从一个城市到另一个城市不用转机太多次。
可是，在随机网络或者规则网络中一般都不存在这样的枢纽。在规则网络中，每个节点都有�
