皇帝新脑-第48章
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度），而且如果｜ψ＞为单位矢量则｜ψ｜=1。完整测量是一种非常理想的测量。例如，一个粒子的位置的完整测量需要我们能在宇宙中的任何地方以无限精度将该粒子定位！一种更初等的测量是我们简单地问是或非的问题，譬如：“该粒子是处于某一根直线的左边或右边？”或“该粒子的动量是在某一个范围内吗？”等等。是或非的测量真正是测量的最基本类型。（例如，人们可以只用是或非测量把粒子的位置或动量收缩到任意小的范围。）假定是或非测量的结果为是。那态矢量必须在希尔伯特空间的“是”的我称之为Y的区域内。另一方面，如果测量的结果为非，那态矢量就在希尔伯特空间的“非”的我称之为N的区域内。区域Y和N是完全相互正交的，任何属于Y的态矢量必须和属于N的任何矢量正交（反之亦然）。此外，任一态矢量都能以唯一的方式表达成分别来自Y和N的两个矢量之和。用数学的语言讲Y和N是相互正交互补的。这样，｜ψ｜可唯一地表达成｜ψ＞=｜ψY＞＋｜ψN＞，这里｜ψY＞属于Y，而｜ψN＞属于N。｜ψY＞称为态｜ψ＞在Y的正交投影，相应地｜ψN＞为｜ψ＞在N上的正交投影（见图6。23）。
图6。23态矢量的减缩。可以按照一对相互正交互补的子空间Y和N来描述是或非测量。测量后，态｜ψ＞跃迁到它在其中一个子空间的投影，而态矢量长度平方在投影中减少的因子给出跃迁概率。
在测量时，态｜ψ＞跃迁并成为（比例于）｜ψY＞或｜ψN＞。如果结果为是，则它跃迁到｜ψY＞；如果为非，则跃迁到｜ψN＞。如果｜ψ＞是归一化的，则发生这些的相应概率为这些投影的态的长度平方｜ψY｜2，｜ψN｜2。如果｜ψ＞不是归一化的，我们必须将这些表示式除以｜ψ｜2。（“毕达哥拉斯定理”，｜ψ｜2=｜ψY｜2＋｜ψN｜2断言，这些概率之和为1，正如所预想的那样！）请注意，从｜ψ＞跃迁到｜ψY＞的概率由在投影中的长度平方的减少的比所给出。关于作用于量子系统的“测量动作”还有最后一点要弄清。不管对于任何态――譬如态｜x＞――总存在一个可在原则上进行的是或非测量7。如果被测量的态是（比例于）｜x＞，其答案则为是；如果垂直于｜x＞则为非。这样上面的区域Y可包含任何选定的态所有的倍数。这似乎隐含有很强的意义，态矢量必须是客观存在的。不管物理系统的态是什么，我们可称之为｜x＞。存在一种原则上可实行的测量，在此测量下｜x＞为唯一的（只差一个比例系数）肯定得到是的结果的态。这种测量对于某些态｜x＞也许是极其困难、甚至在实际中是“不可能”实现的。但是，根据这个理论，这样的测量在原则上能实现的事实，将会在本章后面产生某些惊人的推论。自旋和态的黎曼球面量子力学中称为“自旋”的量有时被认为所有物理量中最 “量子力学”的。这样，我们对之稍微多加注意是明智的。什么是自旋？它本质上是粒子旋转的度量。“自旋”这个术语暗示某种像板球或棒球自旋的东西。让我们回忆一下角动量的概念，正如能量和动量一样，它是守恒的（见第五章190页和266页）。只要物体不受摩擦力或其他力的干扰，它的角动量就不随时间改变。量子力学的自旋的确是如此，但是我们这里开心的是单独粒子的“自旋”，而不是大量的单独粒子围绕着它们共同质心的轨道运动（这正是板球的情形）。物理学的一个显著事实是，自然中发现的大多数粒子在这种意义下的确是在“自旋”，每种粒子都有自己固有的自旋的大小8。然而，正如下面要看到的，单独量子力学粒子的自旋有一种我们绝不能从自旋着的板球等等的经验所能预料到的某种特殊的性质。首先，对于每一特殊类型的粒子，其自旋的大小总是一样的。只有自旋的轴的方向可以（以一种我们就要讲到的非常奇怪的方式）改变。这和板球的情形形成全然的对比，板球可依出球方式的不同具有任意大小任意方向的自旋！对于电子、质子或中子，自旋大小总为 ，刚好是玻尔 h/ 2原先允许的一个原子的量子化的角动量的最小正值的一半。（我们记得这些值为 ， ， ， ，……）我们在这里需要基本单位的一半―― 0 2 3 h h h而在某种意义上， 本身是更基本的单位。只包括一些公转的粒子而 h/ 2每一个粒子都不自旋的对象不允许有这个角动量值。它只能是由自旋为粒子自身的固有的性质而引起的（也就是说，不是因为它的“部分”围绕某种中心的公转引起的）。具有自旋为 的 数倍（如 ， 或 等等）的粒子 h h h h / 2 / 2 3 / 2 5 / 2 奇称为费米子。它在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径：完整的360°的旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身！自然界的许多粒子的确是费米子。它们古怪的形式，对我们自身的存在是如此之关键――我们在后面还要讲到。余下的自旋为 的偶数倍，也就是 的整数倍（即 h h / 20 2 3 360 ， ， ， ，……）的粒子称作 。在 °的旋转下，玻 h h h 玻色子色子的态矢量回归到自身，而不是它的负矢量。
考虑一个 也就是自旋值为 的粒子。为了确定起见，假定 半自旋 h/ 2粒子为电子，但质子、中子或甚至某种原子的情形也是一样的。 （一个 “粒子”可以允许具有个别部分，只要它整个可以用量子力学处理，并具有定义得很好的角动量就可以了。）我们使电子处于静止状态，并只考虑其自旋态。现在量子态空间（希尔伯特空间）只有二维，所以我们可以采用只有两种状态的基。我把这些态标成｜↑＞和｜↓＞。其中｜↑＞表示按右手定则垂直向上的自旋，｜↓＞表示向下的自旋（图6。24）。态｜↑＞和态｜↓＞是相互正交的，我们并将它们归一化（｜↑｜2=｜↓｜2=1）。电子任何可能的自旋态都是这仅有的两个正交态｜↑＞和｜↓＞也就是向上和向下的态的线性叠加，譬如w｜↑＞＋z｜↓＞。
图6。24电子自旋态的基由两种状态组成。它们可取作自旋向上和自旋向下的两种态。关于“向上”和“向下”的方向并没有什么特别之处。我们可以一样便利地选择在任何其他方向的自旋，譬如向右｜→＞和相反的向左｜←＞的态去描述。然而，（对于｜↑＞和｜↓＞的适当的复数比例的选取，我们发现｜→＞=｜↑＞＋｜↓＞以及｜←＞=｜↑＞―｜↓＞。这为我们提供了新的视角：任何电子的自旋态都是两正交态｜→＞和｜←＞也就是向右的和向左的态的线性叠加。 我们可以另外选择完全任意的方向，譬如态矢量｜‰＞指定的方向。这又是｜↑＞和｜↓＞的某种复线性叠加，譬如｜‰＞=w｜↑＞＋z｜↓＞，而每一个自旋态为此态和与它正交的态｜？＞（指向和｜‰＞相反9）的线性叠加。（注意，在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应于通常空间的“直角”。此处正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向夹直角。）
什么是｜‰＞在空间中所决定的方向和两个复数w和z的几何关系呢？由于｜‰＞给出的物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有z和w的比才有意义。将这个比写作q=z/w。q只是某个复数，除了为了和w=0的情形相一致而“q=∞”，也就是当自旋方向垂直向下也是允许的以外。除了q=∞以外，我们总能用q代表复平面上的一点，正如我们在第三章所做的。我们可以想象复平面水平地处于空间中，按上面的描述实轴的方向“向右”（亦即在自旋态｜→＞的方向上）。想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样点l，i，…1，…i都在球面的赤道上。我们将南极上的点认为是∞，然后从该点开始投影，这样整个复平面都被映射到球面上。任何复平面上的点q都在球面上对应唯一的点q，它可由这两点必须和南极联成直线而得的（图6。25）。这一对应称之为立体角投影。它具有美丽的几何性质（亦即它保持角度并将圆映射成圆）。该投影使我们可用复数和∞一起，也就是所有可能的比q的集合，来标记球面上的每一点。以这种特殊方式标记的球面称作黎曼球面。
① 大卫？希尔伯特，我们已在前面的章节中遇到了他的名字，在量子力学发现以前很久，他在无限维的情况下，并为了完全不同的数学上的目的，引进了这个重要的概念！黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜‰＞=w｜↑＞＋z｜↓＞的自旋方向和由从中心到黎曼球面上标记有q=z/w点的实际方向一致。我们注意到，北极对应于态｜↑＞，它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜↑＞，标记作w=0亦即q=∞。最右的点标记着q=1，它提供｜→＞=｜↑＞＋｜↓＞，而最左的点q=…1提供了｜←＞=｜↑＞…｜↓＞。绕过球面最远的点标作q=i，相应于态｜↑＞＋i｜↓＞，其自旋的方向直接离开我们，而最近的点为q=…i，对应于｜↑＞…i｜↓＞，其自旋直接指向我们。而一般的标记为q的点对应于｜↑＞＋q｜↓＞。
图6。25此处用黎曼球面来表示自旋为1/2的粒子的物理上不同的自旋态。球面从它的南极（∞）被立体地投影到通过其赤道的复平面上去。所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢10？在空间选取某一个方向；我们称为α。如果我们在此方向测量电子自旋，答案为是表明电子（现在）的确以右手定则在α方向自旋，而非表明自旋的方向和α相反。假定答案为是；那么我们将此结果的态标记为｜α＞。如果我们简单地重复此测量，利用和前面完全同样的方向α，则我们的答案应该又是百分之百的概率为是。但是如果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态｜β＞上去的概率小了。还有答案为非的跃迁到和β相反方向的态上去的概率。如何计算此概率呢？答案是在上节结尾处的方案中。第二次测量为是的概率为12（1＋ cos ） θ ，这里θ是两个方向α，β之间的夹角11。相应地，第二次测量为非的概率为12（ θ）。 1 …cos我们从这里能看到，如果第二次测量是在与第一次夹角直角的情况，则两种结果的概率都为百分之五十（cos90°=0）：第二次测量的结果完全是随机的！如果两次测量的夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更多。如果为钝角。则非的可能性更多。在β和α相反的极端情形下，答案为是的概率为0，而为非的概率为百分之百；也就是说，第二次测量的结果一定是和第一次相反。（参见费因曼等1965关于自旋的更详尽的讨论。）黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子态（准确到一个比例系数）时起着基本的（但是未被广泛认识到的）作用。对于半自旋的粒子，它的几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋轴的可能的空间方向。在其他很多情形，难以看到黎曼球面的作用。考虑刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。光子态为某个描述两个完全不同位置的双态｜ψt＞和｜ψb＞的诸如｜ψt＞＋�
