皇帝新脑-第47章
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和半反射镜遭遇之间的存在的态的“实在”，此结果告诉了我们什么呢？似乎不可避免的是，在某种意义上光子实际上同时沿着两条途径旅行！因为如果将一吸收屏幕放在任何一条途径上，则光子到达A和B的概率将相等；但是当两条途径同时打开（并具有一样长度）则只能到达A！而堵住一条途径时却实际允许到达B！两条途径都打开时，光子“知道”不允许它到达B，所以它必须感觉到两条途径。尼尔斯？玻尔关于在测量瞬息之间的光子存在没有客观“意义”的观点，依我看来是有关光子态实在的过于悲观的观点。量子力学让我们以波函数来描述光子位置的“实在”，而在半镀银镜子之间的光子波函数刚好是双峰态，双峰之间的距离有时非常可观。图6。18 双峰波函数的两个峰不能被简单地认为是光子在这一位置或那一位置的加权概率。可使光子所采取的两个途径相互干涉。我们还注意到， “同时处于两个指定的位置”不是光子态的完全描述：
譬如讲我们必须能把态ψt＋ψb从态ψt…ψb（或ψt＋iψb）区别开来，这儿ψt和ψb是指分别处于两条途径中的光子 （现在分别为 “穿透的”和“反弹的”光子）。正是这种区别决定了光子到达半镀银镜子时，肯定到达A或B（或以中等的概率到达A或B）。量子实在的令人困惑的特征，也就是我们必须认真地认为的粒子可以各种（不同！）的形式“同时处于两处”――这是因为必须允许用复数权重把量子态加起来以得到其他量子态这个事实引起的。这种态的叠加是量子力学称之为量子线性叠加的一般的、重要的特征。正是它允许我们从位置态组成动量态，或从动量态组成位置态。在这些情形下，线性叠加被应用到无限多的不同的态，也就是所有不同的位置态，或所有不同的动量态。但是，正如我们已经看到的，只要把它仅仅应用于一对态就引起了这样的困惑不解。其规则是不管任何两个态是多么不同，它们能在任何复线性叠加上共存。的确，任何自身由单独粒子构成的物理对象应当能以这种在空间中分隔得很开的态的叠加的形式而存在，并因此“同时处于两处”！
量子力学的形式在这方面对于单独粒子还是许多粒子的复杂系统并没有差别。那么为何我们从未经验过宏观物体，（譬如棒球或甚至人）同时处于完全不同的地方？这是一个根本的问题，今日量子理论尚不能为我们真正地提供一个满意的答案。对于像棒球这样的如此富有内容的对象，我们必须认为这些系统处于“经典水平”――或者，正如通常说的，“观察”或“测量”将对该棒球进行的――而那时对我们的线性叠加进行加权的复概率幅度必须已被平方求模，并当作描述实际不同选择的概率。然而，这正好引起一个争议性问题：为何允许我们以这种方式改变U到R的量子规则！以后我还要讨论这个问题。希尔伯特空间我们记得在第五章为了描述经典系统引进了相空间的概念。相空间中
的单独的点代表整个物理系统的（经典的）态。在量子力学中，其相应的类似概念是希尔伯特空间①。现在希尔伯特空间中的单独的点代表整个系统的量子态。我们需要浏览一下希尔伯特空间的数学结构。我希望读者对此无所畏惧。我应该说，虽然其中的一些思想也许是非常陌生的，它不是数学上非常复杂的东西。
希尔伯特空间的最基本的性质在于它是一种所谓的矢量空间――事实上，是一个复的矢量空间。这表明允许我们把空间的任何两个元素加起来得到另一个元素，也允许我们实行带有复杂权重的加法。因为这些是我们刚刚考虑的量子线性叠加的运算，也就是对于上面光子给予我们ψt＋ψb，ψt…ψb，ψt＋iψb等等的各种运算。我们能做到这些。我们使用的术语“复矢量空间”的所有含义就是允许进行这类带权的求和5。可以十分方便地使用狄拉克引进的记号，用某种带角形的括号诸如｜ψ＞，｜x＞，｜ψ＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，｜n＞，｜↑＞，｜↓＞，｜→＞，｜‰＞等等表示被当作态矢量的希尔伯特空间元素。这样，这些符号现在表示量子态。我们把两个态矢量的叠加写作｜ψ＞＋｜x＞，而带复数权重w，z的求和写作w｜ψ＞＋z｜x＞（这里w｜ψ＞表示w×｜ψ＞等等）相应地，我们现在可以将上述的组合ψt＋ψb，ψt…ψb，ψt＋iψb分别写为｜ψt＞＋｜ψb＞，｜ψt＞…｜ψb＞，｜ψt＞＋i｜ψb＞。我们还可以将一个单独态｜ψ＞乘上一个复数w得到w｜ψ＞。
（这是前面的一个特例，即z＝0。）
我们知道可以允许进行复权重的组合，这里w和z不必要是真正的概率幅度，只要是和这些幅度成比例即可。相应地我们采用允许以一个非零复数去乘整个态矢量而物理态不变的规则。 （这会改变w和z的实际的值，但是w∶z保持不变。）下面的每一矢量｜ψ＞，2｜ψ＞，…｜ψ＞，i｜ψ＞， ψ＞，π ψ＞，（ ） ψ＞等等，正如 ψ＞一样，代表 2｜ ｜ 1 … 3i ｜ z｜ 同一个物理态（z≠0）。希尔伯特空间唯一不能解释为物理态的要素是零矢量。（亦即希尔伯特空间的原点）。
图6。19 在希尔伯特空间中的矢量加法和矢量乘以标量，可以用通常① 按照更标准的分析的描述，我们的每一个螺旋（也就是动量态）由表达式ψ=eipx/h=cos（ipx/h）＋isin（ipx/h）给出（见第三章102页）这里p 是问题中动量的值。的方式，正如对在平常空间中的矢量那样摹想为了对所有的这一切进行几何描述，让我们首先考虑“实”矢。量的更通常的概念。人们通常将这样的矢量简单地摹想成平面上或三维空间上的一个箭头。利用平形四边形定律可得到两个箭头的和（图6。19）。用一个（实）数乘一个矢量的运算，按照“箭头”的图像就是简单地将此箭头的长度乘上这数，同时保持箭头的方向不变。如果乘数为负的，那么箭头的方向倒过来；如果乘数为零，则得到零矢量，它没有方向。（矢量O表示零长度的“零箭头”。）作用到一个粒子上的力即是这种矢量的一个例子。而经典速度、加速度和动量则为另外的例子。还有我们在上一章结尾处考虑的动量四矢量那是在四维而不是二维或三维空间的矢量。然而，希尔伯特空间中的矢量具有更高维数（事实上，通常是无限维的，但这一点在这里并不是重要的）。我们记得在经典相空间中也用箭头来表示矢量――那一定是非常高维的。相空间的“维数”不代表通常的空间的方向，希尔伯特空间的“维数”也是这样。相反地，每一希尔伯特空间的维数对应于量子系统的不同的独立的物理态。图6。20希尔伯特空间中的整射线代表物理量子态。
由于｜ψ＞和z｜ψ＞是等效的，所以一个物理态实际上对应于希尔伯特空间中通过原点的整条直线或射线（表述成某一矢量的所有的倍数），而不是这条线上的某一特殊的矢量。 这射线包含特定态矢量｜ψ＞的所有可能的倍数。（请记住，这些是复的倍数，所以直线实际上是复的线，但是现在最好不去忧虑它！）（参见图6。20）。我们将很快找到二维希尔伯特空间情形下的射线空间的精巧图画。无限维的希尔伯特空间是另一种极端情形。甚至在简单的单独粒子位置的情形下也会出现无限维的希尔伯特空间。粒子所有可能的位置都有完整的维！粒子的每个位置都在希尔伯特空间中定义一个完整的“座标轴”。这样，对应于粒子的无限不同的位置在希尔伯特空间中就有无限多不同的独立的方向（或“维数”）。动量态也可在同一希尔伯特空间中被表述。动量态可表达成位置态的组合，每一动量态对应于一个“对角线”出发的相对于位置轴倾斜的轴。所有动量态的集合提供了新的轴的集合。而从位置态轴向动量态轴的过渡牵涉到希尔伯特空间中的一个旋转。图6。21位置态和动量态在同一个希尔伯特空间中提供了正交轴的不同选取。人们甭想以精密的方式来摹想这一切。那是不合情理的！然而，从通常的欧几里德几何可以得到某些对我们非常有用的观念。特别是，我们直到现在考虑过的轴（所有的位置空间轴或所有的动量空间轴都认为是相互正交的，也就是相互夹角为“直角”。射线之间的“正交性”是量子力学中的一个重要概念：正交的射线是指相互独立的态。粒子所有可能不同的位置态都相互正交，所有可能不同的动量态也是如此。但是位置态并不和动量态垂直。这种情形已在图6。21上被非常梗概地表达出来。测 量测量（或观察）的一般规则R要求，量子系统的不同方面能被同地放大到经典水平的以及之后系统应当选取的不同状态必须永远是正交的。对于一次完整的测量，可选取的不同选择的集合组成正交基矢量的集合，表明希尔伯特空间中的每一矢量都能（唯一地）按照它们线性地表达出来。对于一个只包含单粒子的系统的位置测量，这些基矢量定义了我们刚刚考虑的位置轴。对于动量，它是定义为动量轴的不同的集合，对于不同种类完整的测量，还相应有其他的集合。测量之后，该系统的态跃迁到这些测量所决定的集合的一个轴上去――其选择只由概率来制约。没有任何动力学定律能告诉我们大自然会在已挑出的轴中选择哪一个。其选择是随机的，其概率为概率幅度的平方模。图6。22态｜Ψ＞在轴｜0＞，｜1＞，｜2＞，……上的正交投影的大小提供了所需要的幅度z0，z1，z2，……。假定我们对一个具有态｜ψ＞的系统进行了完整的测量，所选择的测量的基为：｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，……。
由于它们组成了完全集，任何态矢量，特别是｜ψ＞可以按照它们而线性地①表示为：丨ψ＞=z0丨0＞＋z1丨1＞＋z2丨2＞＋z3丨3＞＋……。
在几何上，分量z0，z1，z2，……是矢量｜ψ＞的在不同的轴｜0＞，｜1＞，｜2＞……上的正交投影的大小的测度（见图6。22）。我们能将复数z0，z1，z2，……解释作所需要的概率幅度，这样它们的平方模就提供了在测量之后该系统处于相应的｜0＞，｜1＞，｜2＞， ……等态的不同概率。 然而， 这还不完全， 因为我们还未固定住不同的基矢量｜0＞，｜1＞，｜2＞，……等等的“尺度”。为此我们必须指明它们在某一种意义上是单位矢量（亦即具有单位“长度”的矢量），用数学的术语，它们组成了所谓的正交基（相互垂直的并归一化为单位矢量）6。如果｜ψ＞也被归一化成单位矢量，那么所需的相应的概率｜z0｜2，｜z1｜2，｜z2｜2……。如果｜ψ＞不是单位矢量，则这些数就分别和所需的概率幅度成比例。实际的幅度就为：
z z z 0 1 2y y y， ， ，等等并且实际概率为：
① 在更通常的量子力学描述中，将此和除以归一化因子――此处为 杂。z z z 022122222y y y， ， ，等等，这里｜ψ｜是态矢量｜ψ＞的“长度”。每一态矢量都具有正实数的“长度”（除了O具有零长度），而且如果｜ψ＞为单位矢量则｜ψ｜=1。完整测量是一种非常理想的测量。例如，一个粒子的位置的完整测
